მათემატიკის ისტორია

მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელიც ეფუძნება აბსტრაგირებას, დედუქციურ მსჯელობას და სიმბოლურ ლოგიკას. ზოგჯერ მათემატიკას აღწერენ როგორც მეცნიერებას რიცხვების, გეომეტრიული ფიგურების და გარდაქმნების შესახებ. უფრო ფორმალური თვალთახედვით მათემატიკა სწავლობს აქსიომატურად განმარტებულ აბსტრაქტულ მათემატიკურ სტრუქტურებს.

ერთი მხრივ მათემატიკა იქმნება წმინდა თეორიული ინტერესების გამო – წმინდა მათემატიკა. მეორე მხრივ მათემატიკური კვლევა სათავეს იღებს საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებიდან, გამოიყენება ინჟინერიაში, მედიცინაში და ეკონომიკაში –გამოყენებითი მათემატიკა.

ტერმინი მათემატიკა ბერძნული წარმოშობისაა, μάθημα (máthema) „მეცნიერებას, ცოდნას, სწავლას“ ნიშნავს, ხოლო μαθηματικός (mathematikós) – „სწავლის მოყვარულს“.

ნეოლითის ეპოქის ასტრონომიული და მათემატიკური შეხედულების საწყისები. პირველყოფილი საზოგადოების შეხედულება ციფრებზე და ფიგურებზე. რიცხვითი მნიშვნელობების სისტემა. ეთნომათემატიკა.

თანამედროვე ეპოქის მსოფლიოში გავრცელებული მეცნიერება მათემატიკა შორეული დროიდან იღებს სათავეს. წინათ იგი რამოდენიმე ადგილას იყო გავრცელებული, უძველესი მათემატიკური ტექსტები ჩვენს ერამდე 1900 წლით თარიღდება და ბაბილონურ ხელწერაში (Plimpton 322 მათემატიკა)გვხვდება. ძველი ეგვიპტური მათემატიკა სათავეს იღებს დაახლოებით 2000-1800 წლის წინათ ჩვენს ერამდე, რასაც მოწმობს ძველ ეგვიპტელთა პაპირუსზე შემორჩენილი ხელნაწერები და მოსკოვში აღმოჩენილი ეგვიპტელთა მათემატიკური პაპირუსის ფრაგმენტები დათარიღებული 1890 წლით ჩვენს ერამდე. ყველა ზემოთ ჩამოთვლილ ტექსტს ერთი საერთო აქვს და ისინი დაფუძნებულნი არიან ეგრეთწოდებულ პითაგორას თეორემაზე, რომელიც როგორც ჩანს უძველესი და ფართოდ გავრცელებული მათემატიკური მიმდინარეობაა არითმეტიკული და გეომეტრიული საფუძვლების შემდგომ.




ძველ ბერძნულ და ელინურ მეცნიერებაში, მათემატიკა მხოლოდ ერთ თეორემაზე არ არის დაფუძნებული, პირიქით უფრო მკვეთრი მეთოდით არის გადმოცემული, რადგანაც იმ დროინდელ ბერძნულ მათემატიკას თან ერთვის დედუქციური აზროვნება და მათემატიკური სიზუსტით გადმოცემული მტკიცებულებები, რამაც ხელი შეუწყო შემდგომში მათემატიკიური მეცნიერების განვითარებას. მათემატიკის, როგორც საგნის (პირდაპირი გაგებით) შესწავლა იწყება მეექვსე საუკუნიდან ჩვენს ერამდე, რაშიც აქტიურ მონაწილეობას იღებენ პითაგორელები, რომლებმაც თვითონ ამ მეცნიერებას დაარქვეს სახელი «მათემატიკა», ძველბერძნულად იგი გამოისახებოდა ასე: μάθημα ( მათემატიკური), რაც მაშინდელი გაგებით აღნიშნავს “შესწავლის საგანს”. აქვე უნდა აღინიშნოს ჩინური მათემატიკა, რომელიც ასევე უძველესი დროიდან იღებს სათავეს და აქცენტს მათემატიკური საწყისების ძირითად ღირებულებებზე აკეთებს. ინდურ-არაბული თვლის სისტემა და ოპერაციების შესრულების საკუთარი მეთოდი, რომელიც მთელს მსოფლიოში დღესეც გამოიყენება, სავარაუდოდ ჩვენს ერამდე პირველ ათასწლეულში განვითარდა ინდოეთში ხოლო მოგვიანებით გადაეცა დასავლეთს ისლამური მათემატიკის გამოყენებით. ისლამურ მათემატიკას რაც შეეხება, მისი განვითარება და შემდგომში გაფართოება აღნიშნული ცივილიზაციისათვის გახლავთ დამახასიათებელი.



ბერძნული და არაბული ტექსტების უმეტესობა, მოგვიანებით შეკრებილი და გადათარქმნილი იქნა ლათინურ ენაზე რამაც დასაბამი მისცა ამ მეცნიერების კიდევ უფრო ფართო ნაკადით შემოსვლას და განვითარებას შუასაუკუნეების ევროპაში.




უძველესი დროიდან მოყოლებული შუასაუკუნეებამდე, მათემატიკური ხელოვნების გამოვლინებები თან სდევს საუკუნეთა წინსვლას. მაგალითად რენესანსის (იტალია 16-ე საუკუნე) დროიდან მოყოლებულმა ახალმა მათემატიკურმა გათვლებმა, რომლებიც შესანიშნავად ურთიერთქმედებდნენ იმდროინდელ ახალ მეცნიერულ აღმოჩენებთან, საფუძველი ჩაუყარეს მათემატიკის განვითარების ტემპის სისწრაფეს, რაც დღემდე არ შენელებულა და თანდათან ადის უფრო და უფრო მაღალ საფეხურზე.

 Математика в древнем и средневековом Китае

Китайская нумерация и арифметические действия. «Математика в девяти книгах» — выдающийся культурный памятник древнего Китая. Структура математического текста. Геометрия, теория пропорций, системы линейных уравнений, инфинитезимальные процедуры, отрицательные числа. Счетная доска и вычислительные методы.

2.6. Математика в древней и средневековой Индии

Источники. Цифровая позиционная система. Появление записи нуля. Дроби. Задачи на пропорции. Линейные и квадратные уравнения. Неопределенные уравнения. Отрицательные и иррациональные числа. Суммирование бесконечных рядов. Геометрические знания. Достижения в области тригонометрии.

3. Математика Средних веков и эпохи Возрождения

3.1. Средневековая математика как специфический период в развитии математического знания

Математика арабского Востока. Переводы греческих авторов. Трактат аль-Хорезми «Об индийском счете» и победное шествие «арабских» цифр по средневековой Европе. «Книга о восстановлении и противопоставлении» («Китаб аль-джебр ва-л-мукабала»). Классификация квадратных уравнений. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Омар Хайям. Кубические уравнения. Практический характер математики. Геометрические исследования: теория параллельных в связи с попытками доказать V постулат Евклида.

 Арифметизация теории квадратичных иррациональностей в работах арабских комментаторов Евклида. Инфинитезимальные методы. Отделение тригонометрии от астрономии и превращение ее в самостоятельную науку.

3.2. Математика в средневековой Европе

Математика в Византии. Переводы с арабского и греческого. Индийская нумерация, коммерческая арифметика, арифметическая и геометрическая прогрессии, практически ориентированные геометрические и тригонометрические сведения у Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Творчество Фибоначчи. «Арифметика в 10 книгах» И. Неморария. Развитие античных натурфилософских идей и математика. Оксфордская и Парижская школы. Схоластические теории изменения величин (учение о конфигурациях качества, о широтах форм) как предвосхищение математики переменных величин XVII в. Дискуссии по проблемам бесконечного, непрерывного и дискретного в математике.

3.3. Математика в эпоху Возрождения

Проблема решения алгебраических уравнений, расширение понятия числа, совершенствование символики, решение уравнений 3-й и 4-й степеней в радикалах. Алгебра Ф. Виета. Проблема перспективы в живописи Ренессанса и математика. Иррациональные числа. Отрицательные, мнимые и комплексные числа (Дж. Карда-но, Р. Бомбелли и др.). Десятичные дроби. Тригонометрия в астрономических сочинениях.

4. Рождение и первые шаги математики переменных величин

4.1. Математика и научно-техническая революция XVI-XVII вв.

Механическая картина мира и математика. Новые формы организации науки. Развитие вычислительных средств — открытие логарифмов. Жизнь и творчество Р. Декарта. Число у Декарта. Рождение аналитической геометрии.

Теоретико-числовые проблемы в творчестве Ферма. Создание основ проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Переписка Ферма и Паскаля и первые теоретико-вероятностные представления. Появление статистических исследований.

Развитие интеграционных и дифференциальных методов в XVII в. (И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль). Жизнь и творчество И. Ньютона и ЕВ. Лейбница. Открытие Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Спор о приоритете и различия в подходах. Первые шаги математического анализа (И. и Я. Бернулли и др.). Проблема обоснования дифференциального и интегрального исчисления и критика Дж. Беркли.

4.2. Математика и Великая французская революция

Создание Политехнической и Нормальной школ и их влияние на развитие математики и математических наук. Развитие математического анализа в XVIII в. Расширение поля исследований и выделение основных ветвей математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления в узком смысле слова, теории рядов, теории дифференциальных уравнений — обыкновенных и с частными производными, теории функций комплексного переменного, вариационного исчисления. Жизнь и творчество Л. Эйлера. Математическая трилогия Эйлера. Классификация функций Эйлера. Основные понятия анализа. Обобщение понятия суммы ряда. Спор о колебании струны. Развитие понятия функции. Расширение понятия решения дифференциального уравнения с частными производными — понятия классического и обобщенного решений; появление понятия обобщенной функции в XX столетии. Проблема обоснования алгоритмов дифференциального и интегрального исчисления. Подходы Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, Л. Карно, Ж. Даламбера. Вариационные принципы в естествознании.

5. Период современной математики

5.1. Математика XIX в.

Организация математического образования и математических исследований. Ведущие математические школы. Математические журналы и общества. Школа К. Вейерштрасса. Жизнь и деятельность С. В. Ковалевской. Организация первых реферативных журналов и международных математических конгрессов — в Цюрихе (1897), в Париже (1900). Начало издания в Германии «Энциклопедии математических наук». Доклад Д. Гильберта «Математические проблемы» (1900).

5.2. Реформа математического анализа

Идеи Б. Больцано в области теории функций. О. Коши и построение анализа на базе теории пределов. Нестандартный анализ А. Робинсона (1961) и проблема переосмысления истории возникновения и первоначального развития анализа бесконечно малых. К. Вейерштрасс и арифметизация анализа. Теория действительного числа (Г. Кантор, Р. Дедекинд). Г. Кантор и создание теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств. Создание теории функций действительного переменного (А. Лебег, Р. Бэр, Э. Борель).

5.3. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений — проблема интегрируемости уравнений в квадратурах

Результаты Ж. Лиувилля по интегрированию уравнения Риккати. С. Ли и его подход к проблеме. Перестройка оснований теории в трудах О. Коши (задача Коши, доказательство существования решения задачи Коши). Линейные дифференциальные уравнения, теория Штурма—Лиувилля, аналитическая теория дифференциальных уравнений.

Качественная теория А. Пуанкаре и теория устойчивости А.М. Ляпунова. Теория динамических систем — от А. Пуанкаре до КАМ-теории.

5.4. Теория уравнений с частными производными

Теория уравнений первого порядка (теория Лагранжа — Шарпи, работы И. Пфаффа, О. Коши и К.Г. Якоби, «второй метод Якоби», теория С. Ли). Общая геометрическая теория уравнений с частными производными (С. Ли, Э. Картан, Д.Ф. Егоров).

Теория потенциала и теория теплопроводности Ж.Б. Фурье и теория уравнений математической физики. Классификация уравнений по типам (эллиптические, параболические и гиперболические) П. Дюбуа-Реймона. Теорема Коши — Ковалевской. Понятие корректности краевой задачи по Ж. Адамару. Взгляд на общую теорию как на общую теорию краевых задач для уравнений различных типов. Системы уравнений с частными производными. 19-я и 20-я проблемы Гильберта и теория эллиптических уравнений в XX в.

5.5. Теория функций комплексного переменного

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. О. Коши и его результаты в построении теории функций комплексного переменного. Геометрическая теория функций комплексного переменного Б. Римана. Римановы поверхности. Принцип Дирихле. Аналитическое направление К. Вейерштрасса в теории функций комплексного переменного. Целые и мероморфные функции. Теорема Пикара. Абелевы функции. Автоморфные функции. Униформизация.

5.6. Эволюция геометрии в XIX — начале XX в.

Создание проективной геометрии. Жизнь и творчество К.Ф. Гаусса. Дифференциальная геометрия. Открытие Н.И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Априоризм Канта и неевклидова геометрия. Интерпретации неевклидовой геометрии. Риманова геометрия. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна. «Основания геометрии» Д. Гильберта и эволюция аксиоматического метода (содержательная, полуформальная, формальная аксиоматизации).

Рождение топологии. Комбинаторная топология А. Пуанкаре. Диссертация М. Фреше (1906). Теория топологических пространств. Теория размерности. Возникновение алгебраической топологии.

Геометрическая теория алгебраических уравнений. Идеи Р. Клебша и Э. Нетер. Итальянская школа алгебраической геометрии. Аналитическая теория многообразий.

5.7. Эволюция алгебры в XIX — первой трети XX в.

Проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Э. Галуа и рождение теории групп. Развитие теории групп в XIX в. (А. Кэли, К. Жордан, теория непрерывных групп С. Ли). Аксиоматика теории групп. Теория групп и физика (кристаллография, квантовая механика). Развитие линейной алгебры. Английская школа символической алгебры. Кватернионы У. Гамильтона, гиперкомплексные системы, теория алгебр. Теория алгебраических чисел. Формирование понятий тела, поля, кольца. Формирование «современной алгебры» в трудах Э. Нетер и ее школы. Эволюция предмета алгебры от теории алгебраических уравнений до теории алгебраических структур.

5.8. Аналитическая теория чисел

Проблема распределения простых чисел (К.Ф. Гаусс, П. Дирихле, П.Л. Чебышев, Ж. Адамар, Ш. Валле-Пуссен), теория трансцендентных чисел (Ж. Лиувилль, Ш. Эрмит, А.О.Гельфонд), аддитивные проблемы — проблема Гольдбаха (И.М. Виноградов) и проблема Варинга (Д. Гильберт, Г. Харди). Алгебраическая теория чисел — работы К.Ф. Гаусса, обоснование теории делимости для полей корней из единицы (Э. Куммер), а затем для произвольных полей алгебраических чисел (Р. Дедекинд, Е.И. Золотарев, Л. Кронекер), доказательство квадратичного и биквадратичного (К.Ф. Гаусс), а затем и кубического закона взаимности (Г. Эйзенштейн, К.Г. Якоби). Геометрическая теория чисел (Г. Минковский, Г.Ф. Вороной).

5.9. Вариационное исчисление Эйлера

Создание метода вариаций. Вторая вариация и условия Лежандра и Якоби. Теория сильного экстремума Вейерштрасса. Теория Гамильтона — Якоби. Инвариантный интеграл Гильберта. Вариационные задачи с ограничением. Теория экстремальных задач в XX в. Принцип максимума Понтрягина.

Рождение функционального анализа: «функциональное исчисление» В. Вольтерра, С. Пинкерле, исследования по интегральным уравнениям (Э. Фредгольм, Д. Гильберт), вариационному исчислению. Понятие гильбертова пространства. Банаховы пространства (С. Банах, Н. Винер).

5.10. Развитие теории вероятностей
во второй половине XIX — первой трети XX в.

Формирование основ теории вероятностей. Трактат Я. Бернулли «Искусство предположений». Появление основных теорем теории вероятностей. П. С. Лаплас и теория вероятностей. Предельные теоремы теории вероятностей. Петербургская школа П.Л. Чебышева и теория вероятностей XIX — начала XX в. Проблема аксиоматизации теории вероятностей. Аксиоматика А.Н. Колмогорова.

5.11. Математическая логика и основания математики
в XIX — первой половине XX в.

Предыстория математической логики. Символическая логика Г.В. Лейбница. Квантификация предиката. Логика А. де Моргана. Алгебра логики Дж. Буля и У. Джевонса. Символическая логика Дж. Венна. Алгебра логики Э. Шредера и П.С. Порецкого. Исчисление высказываний Г. Фреге. «Формуляр математики» Дж. Пеано. «Principia Mathematica» Б. Рассела и А. Уайтхеда. Работы по основаниям геометрии и арифметики конца XIX в. Кризис в основаниях математики в начале века и попытки выхода из него: логицизм, формализм, интуиционизм. Формалистское понимание математического существования. Непротиворечивость как основная характеристика математической теории. Конструктивизм. Аксиоматизация теории множеств. Континуум-гипотеза и попытки ее доказательства от Г. Кантора до П. Коэна. Результаты К. Гёделя и кризис гильбертовской программы обоснования математики. Возникновение группы Бурбаки, ее деятельность и идеология. Реакция на нее математического сообщества.

5.12. История вычислительной техники

Абак, механические счетные машины (В. Шиккард, Б. Паскаль, Г. Лейбниц, П.Л. Чебышев), аналитическая машина Ч. Бэббеджа, электромеханические счетные машины, создание электронных вычислительных машин. Появление персональных компьютеров. Экспансия информатики. Допустимость компьютерного доказательства — проблема четырех красок.

5.13. Математика XX в.

Основные этапы жизни математического сообщества: до Первой мировой войны, в период между Первой и Второй мировыми войнами, во второй половине XX в. Математические конгрессы, международные организации, издательская деятельность, премии (Филдсовская премия, премия Р. Неванлинны и др.). Ведущие математические школы и институты. Творчество А. Пуанкаре и Д. Гильберта.

წყარო

Please Share it! :)